|
|
Загадки — Математические
С борта парохода был спущен стальной трап. Нижние 4 ступеньки трапа погружены в воду. Каждая ступенька имеет толщину в 5 см; расстояние между двумя соседними ступень ками составляет 30 см. Начался прилив, при котором уровень воды стал поднимается со скоростью 40 см в час. Как Вы считаете, сколько ступенек окажется под водой через 2 часа?
ОтветЧерез два часа под водой будут те же 4 ступеньки, потому что во время прилива лестница поднимается вместе с пароходом.
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.
Ответ: Взвешиваешь 50 и 50 монет:
1) Равенство:
Беpем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:
1.1 Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее.
1.2 Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
2) Hеpавенство:
Беpем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет.
2.1 Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче.
2.2 Вес кучек не
Ответ
У барона Мюнхгаузена есть 8 внешне одинаковых гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 8 г. Он помнит, какая из гирек сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь?
ОтветДа. 7+8 = 1+2+3+4+5, остается 6.
Имеется 100 серебряных монет разных размеров и 101 золотая монета также разных размеров. Если у одной монеты размер больше, чем у другой, то она и больше весит, но это верно только для монет, сделанных из одного и того же металла. Все монеты можно легко упорядочить по размерам на глаз. Отличить золота от серебра можно тоже :-). Как за 8 взвешиваний определить, какая монета из всех 201 штук занимает по весу ровно 101-е место? Все 201 монеты также различны по весу. Весы с двумя чашками, как обычно.
ОтветРаскладываем в два ряда все монеты в порядке возрастания размера: золотые отдельно, серебряные отдельно. Пусть первая по счету в каждом ряду монета самая большая (и тяжелая).
Среднюю по весу монету можно найти, последовательно взвешивая срединные монеты каждой из оставшихся линеек.
1) взвешиваем 51-ю золотую монету и 50-ю серебряную. Если первая тяжелее, то искомая монета находится где-то среди 52-101 золотой и 1-50 серебряной. Если легче, то искомая монета находится где-то среди 1-51 золотой и 51-100 серебряной. То есть, 51+50 монет. Остальные можно отложить.
2) взвешиваем опять срединные монеты. Так как число вариантов растет в геометрической прогрессии, буду рассматривать только итоги ;) Из 51+50 монет выбираем сравниваем 25 и 26 монеты. Остается 26+25 монет.
3) Взвешиваем 13 и 13 монеты. Остается 13+13 или 13+12. Далее буду рассматривать только случай 13+13, 13+12 аналогично.
4) Взвешиваем 7 и 7. Остается 7+7.
5) Взвешиваем 4 и 3. Остается 4+3.
6) Здесь могу поподробнее, так как монет осталось мало. Пусть остались золотые монеты 1234 и серебряные ABC (все в порядке возрастания). Взвешиваем 2 и B. Если 2>B, то средняя монета какая-то из 34AB, если нет, то из 12C. Рассмотри первый случай.
7) Взвешиваем 3 и A.
8а) если 3
8б) если 3>A, то взвешиваем 4 и A. Какая больше, та и искомая.
Еще известная задача такого уровня: (Возможно это легенда, но очень уж красивая)
Во времена Второй Мировой Войны, Английские ученые подбросили Немецким ученым, что бы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу.
Кладоискатели нашли клад и записку в которой было написано: В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами. Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей.
Задача: Как при помощи одного взвешивания определить в каком мешке находятся фальшивые монеты?
Примечание. Взвешиванием называется тот момент, когда весы, типа коромысла, станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне одинаковый вес.
И еще Англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.
ОтветИтак, берем из первого мешка 2 монеты, из второго - 4, из третьего - 6 и т.д. Эту кучу монет бросаем на одну чашу весов, после чего уравновешиваем весы, насыпая на вторую чашу монеты из какого-нибудь одного, например первого мешка.
Если бы все монеты были настоящими, то чаша 1 весила бы 420 у.е. Но там-то у нас 2*х фальшивых монет, поэтому она весит 420+2*х у.е.
Предположим, что мешок 1, которым мы уравновешивали весы, содержит настоящие монеты, тогда количество монет, истраченных на равновесие, будет где-то между 422 и 460. Нам остаётся только найти х: х = (кол-во понадобившихся монет - 420)/2.
Если же мешок, монетами из которого мы уравновешиваем весы, оказался фальшивым, то равновесие будет достигнуто где-то на между 211 и 230 монетами. Естественно мы тогда поймём, что что-то здесь не так.
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.
ОтветВзвешиваешь 50 и 50 монет:
1) Равенство:
Беpем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:
1.1 Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее.
1.2 Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
2) Hеpавенство:
Беpем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет.
2.1 Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче.
2.2 Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 таких же курей за 12 дней?
ОтветОдна курица несет одно яйцо за три дня. За 12 дней одна курица снесет четыре яйца, следовательно, 12 курей за 12 дней снесут 12×4=48 яиц.
Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания. Весы - стандартные для задач этого типа: две чашечки без гирь.
ОтветОтложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим следующим образом: FAKE MIND CLOT.
Теперь взвешиваем одну четверку против другой (буквы обозначают монеты, входящие в каждую четверку): MA DO - LIKE, ME TO - FIND, FAKE - COIN. Теперь совершенно просто найти фальшивую монету, если она входит в эти двенадцать монет. К примеру, если результаты взвешивания были: слева легче, равно, слева легче, то фальшивой может быть только монета "A", которая легче других.
А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было.
Имеется набор из 1999 монет. Известно, что 1410 из них - фальшивые. Фальшивая монета по весу отличается на 1 г от подлинной, причем одни фальшивые монеты могут быть легче, а другие тяжелее подлинных. У нас есть чашечные весы, которые умеют показывать разницу в весе. Как за одно взвешивание определить подлинность любой монеты из набора?
ОтветВзвешиваем все монеты кроме этой и смотрим на разность в весе. Обозначим вес нормальной монеты как N, тогда все монеты будут весить либо 1998*N+2x.
А вот задача похожая на предыдущую, но немного сложнее: В аптеку поступило сильнодействующее лекарство - 8 упаковок по 150 таблеток. Следом пришло сообщение, что в этой партии есть несколько упаковок с бракованными таблетками - их вес на 1 мг больше нормальной дозы. Как за одно взвешивание выявить все упаковки с бракованными таблетками? Упаковки можно вскрывать.
ОтветСледует учинить непересекающиеся подмножества таблеток от разных упаковок: взять из первой упаковки одну таблетку, из второй - две, из третьей - четыре, из четвёртой - восемь, из пятой - 16, из шестой - 32, из седьмой - 64, из восьмой - 128. Всё это взвесить. Вычесть из полученного веса идеальный вес (идеальный вес каждой таблетки известен из документации, но можно обойтись и без него - подумайте как). Полученный излишек веса (он уже нормализован за счёт единичного излишка веса каждой таблетки) перевести в двоичный вид (ведь мы сформировали подмножества по двоичному закону). В этом числе номера разрядов, равные единице, и будут показывать номера бракованных упаковок.
|
|
