Математические @ Загадки.smeha.net

Загадка:
На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 грамм.

Ответ: Легко! Из первой шляпы берем 1 монету, из второй - 2, из третьей - 3 и т.д. Все это взвешиваем и отнимаем результат от идеального веса (в нашем случае 55*10=550 грамм). Получившееся число будет совпадать с номером шляпы с фальшивыми монетами.

Добавлено: 23.06.05 12:12
Рейтинг: 2.71, Ваша оценка: 1 2 3 4 5

Загадка: Три рубля рублями, рубль пятаками, три копейки по копейке рубль да пятак.... Ответ: 5 руб. 8 коп.
Добавлено: 09.06.07 10:05 Рейтинг: 2.63, Ваша оценка: 1 2 3 4 5	Автор: Kamashka

Загадка:
Имеется 2N пронумерованных монет, причем: все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые также весят одинаково, фальшивая монета легче настоящей. монеты с номерами от 1 до N настоящие, а монеты с номерами от N+1 до 2N - фальшивые. Из этих двух утверждений судья знает только первое, а эксперт - оба.

Как эксперту за три взвешивания на чашечных весах без гирь убедить судью в справедливости второго утверждения?
a: N=7
b: N=9

Задача "a" предлагалась на одной из Всесоюзных мат. олимпиад в 1970-х годах. С тех пор число N=7 (и в общем случае, N=2^K-1 для K взвешиваний) считалось не улучшаемым. И тем не менее, это не так. Улучшение (задача "b") придумано С. Токаревым в 1997 году.

Ответ:
a) 1) Эксперт взвешивает монеты 1 и 8. (1 > 8)
Судья убеждается, что 8 - фальшивая.

2) Эксперт взвешивает 1+8 и 9+10. (1+8 > 9+10)
Судья убеждается, что 9+10 легче, чем одна фальшивая и одна настоящая. Следовательно, он заключает, что и 9, и 10 - фальшивые.

3) Эксперт взвешивает 1+8+9+10 и 11+12+13+14.
Аналогично, судья может сделать вывод о всех монетах 11-14. Заметим, что настоящая монета нужна ровно одна.

b) Предварительное действие: эксперт группирует монеты в такие три кучки: А (1, 2; 10, 11); Б (3, 4, 5; 12, 13, 14); В (6, 7, 8, 9; 15, 16, 17, 18); В каждой кучке поровну настоящих и фальшивых монет, эксперту это известно, а судье будет доказано в результате взвешиваний.
1) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки А и фальшивые из кучки Б, а на правую - фальшивые из кучки А и настоящие из кучки Б. Правая чашка тяжелее левой.

2) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки Б и фальшивые из кучки В, а на правую - фальшивые из кучки Б и настоящие из кучки В. Правая чашка тяжелее левой.

3) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки В и фальшивые из кучек А и Б, а на правую - фальшивые из кучки В и настоящие из кучек А и Б. Правая чашка тяжелее левой.
Обозначим x разность весов настоящих и фальшивых монет кучки A, т.е. (1+2) -(10+11), y - то же для кучки Б, то есть (3+4+5)-(12+13+14), z - (6+7+8+9)-(15+16+17+18).

Наши взвешивания доказали судье следующие три неравенства:
y > x; z > y; x+y > z.

Поскольку x,y,z - целые числа, то строгие неравенства можно заменить на нестрогие:
y >= x+1
z >= y+1
x+y >= z+1.

Отсюда: x+y >= y+2 => x >= 2;
x+y >= x+3 => y >= 3;
2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4.

С другой стороны, очевидно, что разность между K настоящими монетами и K неизвестными монетами не может быть больше, чем K, причем равенство бывает только тогда, когда все неизвестные монеты - фальшивые. Это и доказывает судье все что надо...
Заметим, что и в этом случае 9 настоящих монет не нужно! А сколько их нужно на самом деле? Подумайте...
Еще более интересная задача - для четырех взвешиваний. Алгоритм из задачи а) дает возможность эксперту доказать фальшивость 15 монет. Обобщение алгоритма Токарева позволяет улучшить эту оценку до 27.

Добавлено: 23.06.05 12:14
Рейтинг: 2.60, Ваша оценка: 1 2 3 4 5

Загадка:
Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания. Весы - стандартные для задач этого типа: две чашечки без гирь.

Ответ: Отложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим следующим образом: FAKE MIND CLOT.
Теперь взвешиваем одну четверку против другой (буквы обозначают монеты, входящие в каждую четверку): MA DO - LIKE, ME TO - FIND, FAKE - COIN. Теперь совершенно просто найти фальшивую монету, если она входит в эти двенадцать монет. К примеру, если результаты взвешивания были: слева легче, равно, слева легче, то фальшивой может быть только монета "A", которая легче других.
А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было.

Добавлено: 23.06.05 12:12
Рейтинг: 2.45, Ваша оценка: 1 2 3 4 5

Загадка:
Еще известная задача такого уровня: (Возможно это легенда, но очень уж красивая) Во времена Второй Мировой Войны, Английские ученые подбросили Немецким ученым, что бы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу.
Кладоискатели нашли клад и записку в которой было написано: В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами. Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей.

Задача: Как при помощи одного взвешивания определить в каком мешке находятся фальшивые монеты?

Примечание. Взвешиванием называется тот момент, когда весы, типа коромысла, станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне одинаковый вес.
И еще Англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.

Ответ: Итак, берем из первого мешка 2 монеты, из второго - 4, из третьего - 6 и т.д. Эту кучу монет бросаем на одну чашу весов, после чего уравновешиваем весы, насыпая на вторую чашу монеты из какого-нибудь одного, например первого мешка.
Если бы все монеты были настоящими, то чаша 1 весила бы 420 у.е. Но там-то у нас 2*х фальшивых монет, поэтому она весит 420+2*х у.е.
Предположим, что мешок 1, которым мы уравновешивали весы, содержит настоящие монеты, тогда количество монет, истраченных на равновесие, будет где-то между 422 и 460. Нам остаётся только найти х: х = (кол-во понадобившихся монет - 420)/2.
Если же мешок, монетами из которого мы уравновешиваем весы, оказался фальшивым, то равновесие будет достигнуто где-то на между 211 и 230 монетами. Естественно мы тогда поймём, что что-то здесь не так.